Hokusain suuri aalto sai selkäänsä pienempiä ja pienempiä aaltoja.
HOKUSAI ymmärsi jo Edo-kaudella ainakin jotain luonnon fraktaaligeometrisesta luonteesta.
Tämä pieni huomio Benoit Mandelbrotin kuuluisasta kirjasta The Fractal Geometry of Nature palautui mieleen, kun Yle näytti maanantai-iltana televisiossa amerikkalaisen dokumentin Fraktaalien maailma (Hunting the Hidden Dimension). Dokumentti on nähtävissä Yle Areenassa noin viikon ajan.
Leikin itsekin aika paljon fraktaalimatematiikalla 1980-luvun lopussa ja 1990-luvun alussa, vaikka kuvien rakentaminen ensimmäisellä tietokoneellani veikin päiväkausia. Inspiraatio fraktaaleihin tuli äskettäin edesmenneen Martin Gardnerin (1914-2010) tuolloin Scientific American -lehdessä pitämältä nerokkaalta palstalta Mathematical Games.
Tunnetuin fraktaalikuvio on tietenkin nimeltään Mandelbrotin kuvio. Tuo hieman lumiukkoa (japaniksi muuten yukidaruma) muistuttava kuvio toistuu loputtomasti samankaltaisena, kun sen yksityiskohtia suurentaa.
Mandelbrotin kuvio syntyy toistamalla kullekin kompleksitason pisteelle c laskutoimitusta z(n+1) = z(n)^2 + c. Kullekin pisteelle aloitetaan z:n arvolla nolla. Pisteet joilla laskutoimituksen tulos iteroitaessa karkaa äärettömyyteen jäävät Mandelbrotin kuvion ulkopuolelle. Pisteet joilla tulos ei karkaa äärettömyyteen ovat kuvion sisäpuolella.
Fraktaaligeometria käsittelee geometrisia kuvioita, joiden keskeinen ominaisuus on juuri tuo loputon samankaltaisena toistuminen eri mittakaavoissa eli itsesimilaarisuus, englanniksi self-similarity. Fraktaalimuotoja esiintyy runsaasti luonnossa. Esimerkiksi rantaviivat toistuvat muodoltaan samankaltaisina eri mittakaavoissa. Samoin toistuvat puiden erikokoiset haarat tai kukkakaalin muodot.
Termin fraktaali keksi juuri Benoit Mandelbrot (1924-), jonka 1960-luvulla alkaneen matemaattisen työn myötä fraktaalit nousivat suureen julkisuuteen. Kuten mainitusta tv-dokumentista ilmenee, fraktaaligeometria on osoittautumassa hyödylliseksi paitsi elokuvateollisuudessa (jossa sillä luodaan esimerkiksi tieteiselokuvien outojen planeettojen maisemia) myös muun muassa lääketieteessä ja ympäristötutkimuksessa.
MUTTA nyt takaisin Hokusaihin. Martin Gartnerin aiheuttama fraktaali-innostukseni oli niin suuri, että minun oli pakko hankkia Benoit Mandelbrotin alkuperäisteos The Fractal Geometry of Nature käsiini. Minä jopa luin sen, vaikka en kovin paljoa matemaattisesta puolesta ymmärtänytkään.
Kirjan vuoden 1982 painokseen lisätyssä väriliitteessä on muutama tavattoman kiehtova sivu, joilla esitellään muun muassa ensimmäisiä fraktaaligeometrian avulla tuotettuja keinotekoisia maisemakuvia.
Yllättäen sivuilla on myös pari vanhaa Leonardo da Vincin (1452-1519) ja Katsushika Hokusain (1760-1849) taideteosta. Molemmat herrat kuvasivat turbulenssia, jolla on paljonkin tekemistä fraktaaligeometrian kanssa. Itse asiassa turbulenssin tutkimiseen ei ollut kunnollisia matemaattisia välineitä ennen fraktaaligeometriaa.
Leonardon vedenpaisumusta esittävässä piirroksessa veden pyörteet toistuvat samankaltaisina monessa mittakaavassa, suurista aivan pienen pieniin asti. Kuva on kiistatta fraktaaleille ominaisesti itsesimilaarinen.
Edo-kauden puupainokuvien mestarilta Hokusailta on esillä hänen kaikkein tunnetuin teoksensa, Kanagawan suuri aalto. Kuten Mandelbrot kuvaa, Hokusaita kiehtoivat monenlaiset pyörteet ja virtaukset. Niin myös tässä kuvassa: suurella aallolla ratsastaa pienempiä aaltoja, ja niillä edelleen pienempiä aaltoja. Ehkäpä loputtomiin, jos puupainotyötä voisi zoomata loputtomasti.
Hokusailta tunnetaan myös muita ”fraktaalikuvia”. Hyvä esimerkki on Fuji ukkosmyrskyssä. Siinä niin puiden latvat kuin pilvetkin toistuvat samankaltaisina pyörteinä yhä pienemmässä ja pienemmässä mittakaavassa.
Ei Hokusai tietenkään fraktaaligeometriaa tuntenut. Mutta selvästikin hän ymmärsi luonnosta ominaisuuksia, joiden matemaattiseen kuvaamiseen vasta fraktaaligeometria antoi välineitä. Ja tämän ymmärtäminen puolestaan auttaa ymmärtämään hieman paremmin Hokusain taidetta.
Futoi yatsu 